Question

在圆内接四边形ABCD中,从AB的中点P作PE垂直于BC,PF垂直于CD,PG垂直于DA,E、F、G分别为垂足.求证：

Answer 1

证明：

∵PE⊥BC,PF⊥CD

∴∠PEC+∠PFC=180°

则∠EPF+∠C=180°

∵∠A+∠C=180°（圆内接四边形对角互补）

∴∠A=∠EPF

同理：∠B=∠GPF

作EM⊥PF于M,GN⊥PF于N

则∠EMP=∠PGA=90°,∠GNP=∠PEB=90°

∴△EMP∽△PGA,△GNP∽△PEB（AA）

∴PE/PA=EM/PG＝＞PE×PG=PA×EM

PG/PB=GN/PE＝＞PE×PG=PB×GN

∴PA×EM=PB×GN

∵P是AB的中点,即PA=PB

∴EM=GN

∵△PEF和△PGF同底（PF）等高

∴S△PEF=S△PGF