对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足

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  • 解题思路:(1)考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件:①在一个闭区间上,函数值是个常数,

    ②在闭区间外的定义域内,函数值大于此常数.

    (2)要使一个式子大于或等于f(x)恒成立,需使式子的最小值大于或等于f(x)即可,从而得到f(x)≤2,

    结合“平底型”函数f(x)的图象可得,当x∈[0.5,2.5]时,f(x)≤2成立.

    (3)根据函数解析式,进行分类讨论:m+n>0;m-n≠0;m+n<0;m+n=0;m-n>0;m-n<0;m-n=0,结合图象验证求解.

    (1)f1(x)=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数,…1分

    存在区间[1,2]使得x∈[1,2]时,f(x)=1,当x<1和x>2时,f(x)>1恒成立; …2分

    f2(x)=x-|x-3|不是“平底型”函数,…1分

    不存在[a,b]⊆D使得任取x∈[a,b],都有f(x)=常数 …1分

    (2)若|t-1|+|t+1|≥f(x),对一切t∈R

    恒成立(|t-1|+|t+1|)min≥f(x)

    (|t-1|+|t+1|)min=2 …3分

    f(x)≤2即|x-1|+|x-2|≤2

    解得[1/2≤x≤

    5

    2] …3分

    (3)f(x)=

    −(m+n)x+m+2nx<1

    (m−n)x+2n−m1≤x≤2

    (m+n)x−m−2nx>2

    ①当m+n>0时若m-n=0时,由图1b知,是“平底型”函数,存在[1,2]使常数 …1分

    若m-n≠0时,由图1a知,是“平底型”函数,存在[a,b]满足条件 …1分

    ②m+n<0不是由图2知,不是“平底型”函数,…1分

    ③m+n=0

    若m-n>0时,由图3知不是“平底型”函数,因为不存在区间[a,b]满足条件 …1分若m-n<0时,由图4 知不是“平底型”函数,因为不存在区间[a,b]满足条件 …1分若m-n=0时,f(x)=0,显然不是“平底型”函数 …1分

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题;带绝对值的函数.

    考点点评: 本题的考点是函数恒成立问题,综合考查函数概念及构成要素,及不等式中的恒成立问题,体现等价转化和分类讨论的数学思想,关键是对新概念的理解.