解题思路:(1)考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件:①在一个闭区间上,函数值是个常数,
②在闭区间外的定义域内,函数值大于此常数.
(2)要使一个式子大于或等于f(x)恒成立,需使式子的最小值大于或等于f(x)即可,从而得到f(x)≤2,
结合“平底型”函数f(x)的图象可得,当x∈[0.5,2.5]时,f(x)≤2成立.
(3)根据函数解析式,进行分类讨论:m+n>0;m-n≠0;m+n<0;m+n=0;m-n>0;m-n<0;m-n=0,结合图象验证求解.
(1)f1(x)=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数,…1分
存在区间[1,2]使得x∈[1,2]时,f(x)=1,当x<1和x>2时,f(x)>1恒成立; …2分
f2(x)=x-|x-3|不是“平底型”函数,…1分
不存在[a,b]⊆D使得任取x∈[a,b],都有f(x)=常数 …1分
(2)若|t-1|+|t+1|≥f(x),对一切t∈R
恒成立(|t-1|+|t+1|)min≥f(x)
(|t-1|+|t+1|)min=2 …3分
f(x)≤2即|x-1|+|x-2|≤2
解得[1/2≤x≤
5
2] …3分
(3)f(x)=
−(m+n)x+m+2nx<1
(m−n)x+2n−m1≤x≤2
(m+n)x−m−2nx>2
①当m+n>0时若m-n=0时,由图1b知,是“平底型”函数,存在[1,2]使常数 …1分
若m-n≠0时,由图1a知,是“平底型”函数,存在[a,b]满足条件 …1分
②m+n<0不是由图2知,不是“平底型”函数,…1分
③m+n=0
若m-n>0时,由图3知不是“平底型”函数,因为不存在区间[a,b]满足条件 …1分若m-n<0时,由图4 知不是“平底型”函数,因为不存在区间[a,b]满足条件 …1分若m-n=0时,f(x)=0,显然不是“平底型”函数 …1分
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;带绝对值的函数.
考点点评: 本题的考点是函数恒成立问题,综合考查函数概念及构成要素,及不等式中的恒成立问题,体现等价转化和分类讨论的数学思想,关键是对新概念的理解.