Question

已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．

Answer 1

解题思路：（I）欲求直线l₂的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合l₁⊥l₂即可求出切线的斜率．从而问题解决．

（II）先通过解方程组得直线l₁和l₂的交点的坐标和l₁、l₂与x轴交点的坐标，最后根据三角形的面积公式教育处所求三角形的面积即可．

（I）y′=2x+1．

直线l₁的方程为y=3x-3．

设直线l₂过曲线y=x²+x-2上的点B（b，b²+b-2），则l₂的方程为y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b）

因为l₁⊥l₂，则有k₂=2b+1=−

1

3，b＝−

2

3．

所以直线l₂的方程为y＝−

1

3x−

22

9．

（II）解方程组

y＝3x−3

y＝−

1

3x−

22

9得

x＝

1

6

y＝−

5

2.

所以直线l₁和l₂的交点的坐标为(

1

6，−

5

2)．

l₁、l₂与x轴交点的坐标分别为（1，0）、(−

22

3，0)．

所以所求三角形的面积S＝

1

2×

25

3×|−

5

2|＝

125

12．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程．

考点点评： 本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．