Question

数列{an}满足a1=1，an+1=an+n+1（n∈N*），则[1a1+1a2+…+1a2013

Answer 1

解题思路：由已知条件，利用累加法求出a_n=

n(n+1)

2

，由此利用裂基求和法能求出

1

a

1

+

1

a

2

+…+

1

a

2013

的值．

∵{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*），

a₂-a₁=1+1，

a₃-a₂=2+1，

a₄-a₃=3+1，

…

a_n-a_n-1=（n-1）+1，

∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）

=1+（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+[（n-1）+1]

=n+1+2+3+…+（n-1）

=

n(n+1)/2]，

∴[1

an＝

2

n(n+1)=2（

1/n−

1

n+1]），

∴[1

a1+

1

a2+…+

1

a2013

=2（1-

1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/2013−

1

2014]）

=2（1-[1/2014]）

=[2013/1007]．

故答案为：[2013/1007]．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列前2013项的和的求法，解题时要注意累加法求通项公式和裂项求和法求前n项和的灵活运用，是中档题．