Question

已知向量a,b满足b|=1,且|ka+b|=√3|a-kb|(k>0),令f(k)=a*b （1）求f(k)=a*b（用

Answer 1

少个条件,应该已知|a|,不妨按|a|=|b|=1来解（也就是一个思路,等于几都行）.

(1)因为 |ka+b|=√3|a-kb|,所以(ka+b)²=3(a-kb)²,展开整理得

(k²-3)a²+(1-3k²)b²+8kab=0

由于a²=|a|²=1,b²=|b|²=1,所以

-2k²-2+8kab=0,

f(k)=ab=(k²+1)/(4k)

(2)k>0时,f(k)=k/4 +1/(4k)≥2√[(k/4)(1/4k)]=1/2,即f(k)的最小值为1/2.

由于 f（k）≥x²-2tx-1/2对任意的t∈[-1,1]恒成立,

从而 [f(k)]min≥x²-2tx-1/2,t∈[-1,1]

即 1/2≥x²-2tx-1/2,t∈[-1,1]

-2xt+x²-1≤0,t∈[-1,1]

令g(t)=-2xt+x²-1≤0,t∈[-1,1]

当x=0时,g(t)=-1