Question

经过定点（1,3）作直线l与抛物线y=x^2相交于A、B两点,求证：抛物线在A、B两点的切线的交点M在一条定直线上.

Answer 1

设直线l为：y-3=k(x-1),代入抛物线方程可得：x^2-kx+k-3=0

设两交点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)

所求切线的斜率为2x1和2x2(利用导数求的)

所以切线方程分别为：y=2(x1)x-x1^2和y=2(x2)x-x2^2

两切线方程联立,求解出交点坐标为（x,y)=((x1+x2)/2,x1x2)

由根与系数的关系,可得：

x1+x2=k,x1x2=k-3

所以x=k/2,y=k-3

联立,消k,可得是一条定直线.