Question

A为正定矩阵,B为实反对称矩阵,求证:| A+B |大于零.

Answer 1

不用这么烦的吧.

设a为A+B的任一特征值,b为其特征向量,用b`表示b的共轭转置 则有 (A+B)b=ab 两端左乘b`

得 b`(A+B)b=b`ab=a|b|^2 再在 (A+B)b=ab,两端取共轭转置,由 A为正定矩阵,B为实反对称矩阵得 b`(A-B)=b`a 再两端右乘b 得b`(A-B)b=b`ab=a|b|^2 所以 2|b|^2*a=b`Ab >0

所以 a>0 即A+B的任一特征值为正数.所以| A+B |>0