已知弓形的弦长、矢高,求弧长.

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  • 已知弦长、弦高、求弧长

    设弦长=2l,弦高=h,半径=R,圆心角=2a.

    根据相交弦定理:(2R-h)h=l^2

    --->R=(l^2+h^2)/(2h).

    sina=l/R=2hl/(l^2+h^2)

    --->a=arcsin[2hl/(l^2+h^2)]

    所以,弧长=aR=a(l^2+h^2)/(2h).

    现在已知一个弓形的弧长及弦长,求其矢高,注意半径和圆周角未知

    设半径为r,圆心角为a

    则弧长l=r*a,弦长b=2*r*sin(a/2)

    通过这两个方程可以解出r和a,然后就可以求出h了

    h=r-r*cos(a/2)

    扇形弦长公式

    半径r,圆心角a,弦长l

    弦长与两条半径构成一个三角形,用余弦定理

    l^2=2r^2-2r^2cosa=2r^2(1-cosa)

    l=r*√[2(1-cosa)]

    用半角公式可转化为

    l=2r*sin(a/2)

    弓形面积

    l-弧长

    b-弦长

    h-矢高

    r-半径

    α-圆心角的度数

    S=r2/2·(πα/180-sinα)

    =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2

    =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2

    =r(l-b)/2 + bh/2

    ≈2bh/3