已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,求实数a的值,并解该不等式.

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  • 解题思路:首先分析题目已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,即可得到|x-3|=3-x.然后可以分类讨论x2-4x+a<0,x2-4x+a≥0的情况,去绝对值号,求得解集即可得到答案.

    已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,即x≤3,所以|x-3|=3-x.

    (1)若x2-4x+a<0,则原不等式化为x2-3x+a+2≥0.

    此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集,所以x2-4x+a<0不成立.

    (2)若x2-4x+a≥0,则原不等式化为x2-5x+a-2≤0.因为x≤3,

    令x2-5x+a-2=(x-3)(x-m)=x2-(m+3)x+3m,比较系数,得m=2,所以a=8.

    此时,原不等式的解集为{x|2≤x≤3}

    故答案为a=8,不等式解集为{x|2≤x≤3}.

    点评:

    本题考点: 绝对值不等式.

    考点点评: 此题主要考查绝对值不等式的应用问题,考查学生灵活求解能力,题中用到分类讨论思想,有一定的计算量属于中档题目.