设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明.
证明：f(0)=0是F(X)在x=0处可导的充要条件.证明如下：
先证充分性.
当x在0的左侧时,F(x)=f(x)(e^x-sin2x).(1)
当x在0的右侧时,f(x)=f(x)(e^x+sin2x).(2)
将(1)对x求导：
F′(x)=f′(x)(e^x-sin2x)+f(x)(e^x-2cos2x)；故F′(0ֿ)=f′(0)-f(0).(3)
将(2)对x求导：
F′(x)=f′(x)(e^x+sin2x)+f(x)(e^x+2cos2x)；故F′(0+)=f′(0)+3f(0).(4)
由(3)(4)可见：当f(0)=0时就有F′(0ֿ)=F′(0+)=f′(0),即F(x)在x=0处的左右导数都存在而且相等,
因此F(x)在x=0处可导；故f(0)=0是F(x)在x=0处可导的充分条件.
再证必要性：
如果F(x)在x=0处可导,则必有F′(0ֿ)=F′(0+)=f′(0),由(3)(4)可见,此时必有f(0)=0；因此f(0)=0
是F(x)在x=0处可导的必要条件.