Question

证明u(x,y)=x-2y,v(x,y)=x+xy+y,都是调和函数,但u+iv不解析.

Answer 1

u'x=1,u''xx=0,u'y=-2,u''yy=0,因此u''xx+u''yy=0,即u满足拉普拉斯方程,因此u是调和函数,同理v'x=1+y,v''xx=0,v'y=x+1,v''yy=0,即v''xx+v''yy=0,v也是调和函数.但是根据柯西黎曼方程,u'x=v'y,u'y=-v'x,有1=x+1,2=1+y,即x=0,y=1,因此f(z)=u+iv只在z=i处可导,在任意点都不解析.