函数y=[2cosx+1/2cosx−1]的值域为______.

2个回答

  • 解题思路:此为

    y=

    acosx+b

    ccosx−d

    型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角,这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性去解.

    解法一:原函数变形为y=1+

    2

    2cosx−1,

    ∵|cosx|≤1,

    可直接得到:y≥3或y≤

    1

    3.

    则函数的值域为(-∞,[1/3]]∪[3,+∞).

    解法一:原函数变形为cosx=

    y+1

    2(y−1),

    ∵|cosx|≤1,∴|

    y+1

    2(y−1)|≤1,

    ∴y≥3或y≤

    1

    3.

    则函数的值域为(-∞,[1/3]]∪[3,+∞).

    故答案为:(-∞,[1/3]]∪[3,+∞).

    点评:

    本题考点: 三角函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查余弦函数的值域,考查分式函数含三角函数的值域的求法,考查运算能力,属于中档题.