证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=
1×2×3×4
4 =6 =左边，
∴等式成立．（2分）
（2）设当n=k（k∈N *）时，等式成立，
即 1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)=
k(k+1)(k+2)(k+3)
4 ．（4分）
则当n=k+1时，左边=1×2×3+2×3×4++k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
=
k(k+1)(k+2)(k+3)
4 +(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)(k+2)(k+3)(
k
4 +1)=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
4
=
(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)
4 .
∴n=k+1时，等式也成立．（8分）
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N *成立．（10分）