分为两种情况：①点Q在AD上时，∠AQP是钝角，只有AQ=AP，
即∠QAP=∠QPA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∵BP⊥PQ，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=BP，
即BQ垂直平分AP，
∴AE=EP，
∵∠ABC=∠AEB，∠BAE=∠BAE，
∴△ABE ∽ △ACB，
∴
AB
AC =
AE
AB ，
∴
3
5 =
AE
3 ，
∴AE=
9
5
∴AP=2AE=
18
5 ；
②在Rt△ABC中，AB=3，∠ABC=90°，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
点Q在DA延长线上，显然∠QAP是钝角，有AQ=AP，∠Q=∠APQ，
∵∠Q+∠AEQ=∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠Q=∠PBE=∠APQ
∵∠APQ+∠BPC=∠PBE+∠PBC=90°
∴∠BPC=∠PBC，
∴CP=CB=4，
∴AP=5-4=1，
故答案为：
18
5 或1．