对于任意的a∈A,因为R是等价关系,所以aRa,由S的定义可知(a,a>∈S.所以S非空且有自反性.
如果∈S,那么存在c∈A,使得aRc,cRb.因为R是等价关系,有对称性,所以bRc,cRa,由S的定义可知∈S.所以S有对称性.
如果,∈S,那么存在d∈A,使得aRd,dRb.存在e∈A,使得bRe,eRc.因为R是等价关系,有传递性,所以由dRb,bRe,eRc可知dRc.由aRd,dRc以及S的定义可知∈S,所以S有传递性.
所以,S是等价关系.
设R是集合A上的等价关系,S={|c∈A,aRc∧cRb},证明S是A上的等价关系
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