Question

线性代数假设m*m的线性方程组有解,则矩阵的行列式不等于零是方程有唯一解的充要条件.最好给个证明

Answer 1

对的.

设方程组为AX=b, A=(a1,a2,...,am)

必要性.

若 |A|≠0, 则 r(A)=m

所以a1,a2,...,am线性无关

而任意m+1个m维向量(特别是 a1,a2,...,am , b )线性相关

所以任一m维向量b都可由A的列向量组线性表示, 且表示法唯一

即 AX=b 有唯一解.

充分性.

若 AX=b 有唯一解

则 b 可由 a1,a2,...,am 唯一线性表示

所以 a1,a2,...,am 线性无关

所以 r(a1,a2,...,am ) = m.

故 |A| = |a1,...,am| ≠ 0.

注: 这类题目的证明取决于你所学的教材的内容安排的顺序

已知结论有什么, 证明的方法会有所不同