Question

如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接A₁C，交C₁A于E，则E为A₁C的中点，又点D是BC的中点，

所以DE∥A₁B，…（3分）

又DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，故A₁B∥平面ADC₁．…（5分）

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C₁（0，2，4），…（6分）

AC=（0，2，0）是平面ABA₁的一个法向量，…（7分）

设平面ADC₁的法向量

m=（x，y，z）．

∵

AD=（1，1，0），

AC1=（0，2，4），

∴

x+y＝0

2y+4z＝0．

取z=1，得y=-2，x=2

∴平面ADC₁的法向量

m=（2，-2，1），…（9分）

平面ADC₁与ABA₁所成的二面角为θ，

∴|cosθ|=|[?4/2×3]|=[2/3]．…（11分）

从而sinθ=

5

3，即平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值为

5

3…（13分）