(1) 1-3ln 2 (2) 0
(3) 满足条件的切线只有一条,其方程为5x+y-1=0.
解:(1)由题可知f′
=1,解得a=1,
故f(x)=x-
-3ln x,∴f′(x)=
,
由f′(x)=0得x=2或x=1.
于是可得x∈
的下表:
2
(2,3]
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
1-3ln 2
↗
于是可得f(x) min="f(2)=1-3ln" 2.
(2)∵f′(x)=a+
-
=
(x>0),
由题可得方程ax 2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x 1、x 2,
则
解得0
.
(3)由(1)f(x)=x-
-3ln x,
故F(x)=x 3-3x 2-2x(x>0),F′(x)=3x 2-6x-2(x>0).
设切点为T(x 0,y 0),由于点P在函数F(x)的图象上,
①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x 0≠1时,由于切线过点P(1,-4),则
=3
-6x 0-2,
所以
-3
-2x 0+4=(x 0-1)(3
-6x 0-2),
化简得
-3
+3x 0-1=0,即(x 0-1) 3=0,
解得x 0=1(舍去).
②当切点T与点P(1,-4)重合,即x 0=1时,
则切线的斜率k=F′(1)=-5,
于是切线方程为5x+y-1=0.
综上所述,满足条件的切线只有一条,
其方程为5x+y-1=0.