Question

若定义在R上的函数f(x)对任意的x,y属于R都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立

Answer 1

1

证明：

令x=y=0

得到f(0)=f(0)+f(0)-1

所以f(0)=1

令y= -x

那么f(0)=f(x)+f(-x)-1=1

所以f(x)+f(-x)=2

所以f(-x)-1= -[f(x)-1]

所以y=f(x)-1是个奇函数.

2

设x1>x2

即x1-x2>0

由1中得到f(-x2)=2-f(x2)

根据x>0时,f(x)>1

那么f(x1-x2)>1

那么f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)-1=f(x1)+[2-f(x2)]-1=f(x1)-f(x2)+1 >1

所以得到了f(x1)-f(x2) >0

即对任意x1>x2,f(x1)>f(x2)

所以f(x)是个R上的增函数.

3

由于f(4)=5

那么f(4)=f(2)+f(2)-1=5

所以f(2)=3

所以f(3m^2-m-2)