Question

AE为三角形ABC中线,DE平分∠BDA交AB于E,DF平分∠ADC交AC于F,求证：BE+CF>EF

Answer 1

题目：AD(此处为D)为三角形ABC中线,DE平分∠BDA交AB于E,DF平分∠ADC交AC于F,求证：BE+CF>EF

证明：过C作CM‖AB,交ED延长线于M点,连FM

所以∠B=∠DCM,∠BED=∠CMD,

又AE为三角形ABC中线,

所以BD=CD,

所以△BDE≌△CDM

所以BE=CM,ED=MD

因为DE平分∠BDA交AB于E,

所以∠ADE=∠ADB/2,

因为DF平分∠ADC交AC于F,

所以∠ADF=∠ADC/2,

所以∠ADE+∠ADF=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2,

因为∠ADB+∠ADC=180,

所以∠ADE+∠ADF=90°,

所以FD垂直平分EM,

所以EF=FM,

在三角形CFM中,CM+FC>FM,

即BE+CF>EF