Question

由部分自然数构成如图的数表，用aij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N*），使ai1=aii=i，每行中的其余各数

Answer 1

解题思路：（1）注意观察，寻找规律，求出b₆．

（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2

=2b_n+2．

（3）由题设知b_n+2=3•2^n-1⇒b_n=3•2^n-1-2，设p＞q＞r，{b_n}是递增数列，由此能导出数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r恰好成等差数列．

（1）b₆=6+16+25+25+16+6=94．（2分）

（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2

=2b_n+2；（6分）

（3）∵b_n+1=2b_n+2，

∴b_n+1+2=2（b_n+2）（8分）

所以{b_n+2}是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，（9分）

则b_n+2=3•2^n-1⇒b_n=3•2^n-1-2．（11分）

若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列，

不妨设p＞q＞r，显然{b_n}是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（12分）

即2²（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化简得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）

由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，

所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，

故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列．（16分）

点评：

本题考点： 数列递推式；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．