Question

一元多项式证明求解设f(x) 属于 C[x],是非零多项式且f(x)|f(x的m次方),求证:f(x)的根只能是零或者1

Answer 1

条件需要m > 1.

由f(x) | f(x^m),若α是f(x)的根则α也是f(x^m)的根.

即有f(α^m) = 0,也即α^m也是f(x)的根.

由此可以得到一个序列:α,α^m,α^(m²),...,它们都是f(x)的根.

由f(x)不为零多项式,f(x)只有有限个根.

因此上述序列中至少有两项相等.

设有α^p = α^q,p < q,则α^p·(α^(q-p)-1) = 0.

若α = 0,结论成立.若α ≠ 0,有α^(q-p) = 1,结论也成立.

证毕.