Question

设函数f（x）=ex+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（1）求导函数，确定导函数的零点，从而可求H（x）的最小值，证明最小值小于0，可得H（x）有两个零点；（2）①由f（an）=g（an+1），可得an+1=1e−1（ean-1），用数学归纳法证明an∈（0，1）；②作差（e-1）an+1-an=ean-1-an，考虑函数p（x）=ex-1-x（0＜x＜1），证明p（x）在（0，1）上是增函数，即可得到结论．

（1）函数f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2，∴H（x）=f（x）-g（x）=e^x-（e-1）x-1

∴H′（x）=e^x-（e-1），

令H′（x）=0，则x₀=ln（e-1）

当x∈（-∞，x₀）时，H′（x）＜0，H（x）在（-∞，x₀）单调递减

当x∈（x₀，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x₀，+∞）单调递增

故H（x）_min=H（x₀）=e^x₀-（e-1）x₀-1=e-1-（e-1）ln（e-1）-1

令t=e-1＞1，函数h（t）=t-tlnt-1，

因为h′（t）=-lnt＜0，所以函数h（t）=t-tlnt-1在（1，+∞）单调递减，故h（t）≤h（1）=0，

又e-1＞1，故H（x₀）＜0，从而H（x）有两个零点；

（2）①证明：因为f（a_n）=g（a_n+1），即ean+1=（e-1）a_n+1+2，所以a_n+1=[1/e−1]（ean-1）

下面用数学归纳法证明a_n∈（0，1）

1°当n=1时，a₁∈（0，1）成立；

2°假设当n=k时，a_k∈（0，1），则a_k+1=[1/e−1]（eak-1）

∵a_k∈（0，1），∴1＜eak＜e，∴0＜eak-1＜e-1

∴0＜a_k+1＜1

综上知，a_n∈（0，1）；

②∵（e-1）a_n+1-a_n=ean-1-a_n，

考虑函数p（x）=e^x-1-x（0＜x＜1）

∵p′（x）=e^x-1＞0，

∴p（x）在（0，1）上是增函数

故p（x）＞p（0）=0

∴（e-1）a_n+1-a_n＞0

∴（e-1）a_n+1＞a_n．

点评：

本题考点： 数学归纳法；函数的零点．

考点点评： 本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．