解题思路：依题意，f（1）是最大值，从而可求得φ=2kπ-2，k∈Z，于是可求得f（x+1）=cos2x，继而可得答案．
显然f（1）是最大值，
所以f（1）=cos（2+φ）=1，
∴2+φ=2kπ，φ=2kπ-2，k∈Z，
所以f（x）=cos（2x+2kπ-2）=cos（2x-2），
∴f（x+1）=cos（2x+2-2）=cos2x，
所以f（x+1）是偶函数．
故选A．
点评：
本题考点： 余弦函数的奇偶性．
考点点评： 本题考查余弦函数的奇偶性，求得φ=2kπ-2，k∈Z是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．