Question

已知函数f（x）=log2（2x+1），g（x）=log2（2x-1），若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上

Answer 1

解题思路：将函数F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点转化为g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，进而求出函数g（x）-f（x）的取值范围即可得到结论．

若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零点，

即F（x）=g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，

即-m=f（x）-g（x）=log₂（2^x+1）-log₂（2^x-1），在[1，2]上有解，

设m（x）=log₂（

2x+1

2x-1）=log₂（

2x-1+2

2x-1）=log₂（1+[2

2x-1），

当x∈[1，2]时，y=1+

2

2x-1单调递减，则根据复合函数单调性之间的关系可知m（x）=log₂（1+

2

2x-1）单调递减，

则m（2）≤m（x）≤m（1），

即log₂

4/3]≤m（x）≤log₂3，

则log₂[4/3]≤-m≤log₂3，

即-log₂3≤m≤-log₂[4/3]

故m的取值范围是[-log₂3，-log₂[4/3]]．

点评：

本题考点： 函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题主要考查函数零点的应用，将方程关系转化为函数，利用函数的单调性求出最值是解决本题的关键．