Question

下列命题中是真命题的个数是（　　）

Answer 1

解题思路：①取α=2kπ（k∈Z）满足sin（α+β）=sinα+sinβ．

②由非命题的意义即可得出；

③取ϕ=kπ+[π/2]（k∈Z），函数f（x）=±cos2x是偶函数；

④当a∈（0，e^-e）时，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点．

①∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ，不正确，

因为取α=2kπ（k∈Z）满足sin（α+β）=sinα+sinβ．

②命题p：∃x∈R，x²+x+1=0，由非命题的意义可得：¬p：∀x∈R，x²+x+1≠0，正确；

③取φ=kπ+[π/2]（k∈Z），函数f（x）=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函数，因此③不正确；

④∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点．

关于方程log_ax=a^x的解由以下结论：当a∈（0，e^-e）时，方程有三个实数根；当a∈[e^-e，1）或a＝e

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e时，有1个实数根；当a∈(1，e

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e)时，有两个实数根；当a＞e

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e时，无实数根．

据此可知：∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点，正确．

综上可知：只有②④是真命题．

故答案为：②④．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题综合考查了简易逻辑的有关知识、三角函数与指数函数对数函数的性质，属于难题．