Question

已知定义域为R的函数f（x）=-2x+b2x+1+2是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）利用奇函数的性质f（0）=0求b的值．

（2）利用定义证明，即取值、作差、变形判断符号、下结论．

（3）结合（1），（2）的性质进行化简，最终解一个关于t的不等式．

（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，

即[b-1/2+2=0，所以b=1，所以f(x)=

1-2x

2+2x+1]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1-2x

2+2x+1=-

1

2+

1

2x+1，

设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1

2x1+1-

1

2x2+1=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)．

因为函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，

又(2x1+1)(2x2+1)＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），

所以函数f（x）在R上为减函数．

（3）因为f（x）为奇函数，所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为

f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），

因为f（x）为减函数，由上式得：t²-2t＞k-2t²，即对一切t∈R，有：

3t²-2t-k＞0．

从而△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的定义，以及不等式的恒成立问题的处理方法，一般要转化为函数的最值求解．