解题思路：（1）将原式配方，再将A（-2，0），C（2，8）代入解析式即可求出a、b的值，从而得到函数的解析式；
（2）将扫过的面积转化为△PEB和△PFB两个三角形的面积之和来表示，用含t的代数式表示出BP的长，表示出P点坐标，求出直线PE的表达式，再求出直线BC的解析式，将二者组成方程组，求出F的纵坐标，即可表示出△PFB的面积表达式；易得，△BPE的表达式，将二者相加即可．
（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上解答．
（1）y=ax2-2ax+b=a（x-1）2-a+b，
∵过点A（-2，0），C（2，8），
∴
a(−2−1)2−a+b＝0
a(2−1)2−a+b＝8
解得
a＝−1
b＝8．
故此抛物线的解析式为y=-x2+2x+8；
（2）由抛物线的解析式为y=-x2+2x+8可得B（4，0），
∵P（4-t，0），E（0，-2），
设一次函数EP的解析式为y=kx+b，将P（4-t，0），E（0，-2）分别代入解析式得，
(4−t)k+b＝0
b＝−2，
解得，
k＝
2
4−t
b＝−2，
一次函数解析式为y=[2/4−t]x-2．
设BC的解析式为y=ax+c，
将C（2，8），B（4，0）代入解析式得，
2a+b＝8
4a+b＝0，
解得
a＝−4
b＝16，
函数解析式为y=-4x+16．
将y=-4x+16和y=[2/4−t]x-2组成方程组得，
y＝−4x+16
y＝
2
4−tx−2，
解得
x＝
36−9t
9−2t
y＝
4t
9−2t，
S=[1/2]×（4-t）×[4t/9−2t]=
2t(4−t)
9−2t．
（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上．
1、旋转后OE在抛物线上：
设为O′E′，则O′E′平行于x轴，抛物线y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，对称轴x=1，
则x1=1-[1/2]|OE|=1-1=0，x2=1+1=2．
则两点为（0，8）、（2，8）．
这时分别：①O′（0，8）、E′（2，8）；
②E′（0，8）、O′（2，8）．
然后分两种情况分别作OO'，EE'的中垂线，其交点即为其旋转中心．
∵OO′的解析式为y=4，易得，EE′的解析式为y=5x-2，则EE′的中点坐标为（1，3），
其中垂线解析式为y=-[1/5]x+b，将（1，3）代入解析式得，b=[16/5]，
则解析式为y=-[1/5]x+[16/5]，当y=4时，x=-4．
旋转中心坐标为（-4，4）．
2、旋转后OB在抛物线上：
OB∥y轴，则O′B′∥x轴，但抛物线y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，不成立．
3、旋转后BE在抛物线上：
BE边旋转90°后所得线段B'E'与BE垂直，直线斜率kBE=[1/2]，则kB'E'=-2．
设旋转后B'E'所在直线方程为：y=-2x+m．
抛物线：y=-x2+2x+8，联立，解方程，得：
（x，y）=（2+
12−m，m-4-2
12−m） 或 （x，y）=（2-
12−m，m-4+2
12−m）
此为两交点坐标，求距离使其等于|BE|=
20=2
5．有：
|BE|=
20(12−m)=
20，从而有m=11，
两点坐标：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）两种情况，
分别作BB′与EE′的垂直平分线，两者交点即为其旋转中心．
综上，同1中解法，共有4种可能性，4个旋转中心，（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线的性质、方程组的解法等知识，综合性极强，难度较大．