Question

菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：

Answer 1

解题思路：由四边形ABCD是菱形，即可得BF为∠ABE的角平分线；可得①正确；由当∠ABC=60°时，DF=2BF，可得②错误；连接AC，易证得△AOD∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DF=OD：AD，继而可得2AB²=DF•DB，即④正确；连接FC，易证得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF=∠BAE，AF=CF，然后由正弦函数的定义，可求得④正确．

①∵四边形ABCD是菱形，

∴BF为∠ABE的角平分线，

故①正确；

②连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD，

∴当∠ABC=60°时，△ABC是等边三角形，

即AB=AC，

则DF=2BF，

∵∠ABC的度数不定，

∴DF不一定等于2BF；

故②错误；

③∵AE⊥BC，AD∥BC，

∴AE⊥AD，

∴∠FAD=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=[1/2]DB，AD=AB，

∴∠AOD=∠FAD=90°，

∵∠ADO=∠FDO，

∴△AOD∽△FAD，

∴AD：DF=OD：AD，

∴AD²=DF•OD，

∴AB²=DF•[1/2]DB，

即2AB²=DF•DB；

故③正确；

④连接CF，

在△ABF和△CBF中，

AB＝CB

∠ABF＝∠CBF

BF＝BF，

∴△ABF≌△CBF（SAS），

∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，

在Rt△EFC中，sin∠ECF=[EF/CF]=[EF/AF]，

∴sin∠BAE=[EF/AF]．

故④正确．

故选C．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．