在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F,G分别是BC,CD,AB的中点(如图1)

1个回答

  • 证明:(1)在图1中,因为∠ABC=∠BAD=90°,所以AD ∥ BC.

    因为F,G分别是CD,AB的中点,所以FG ∥ AD ∥ BC.

    在图2中,因为FG ∥ AD,FG ∥ BC,所以AD ∥ BC.

    因为BC=2AD,E是BC的中点,所以AD=BE.

    所以四边形ABED是平行四边形.

    所以AB ∥ DE.

    因为∠GAD=∠GBC=90°,FG ∥ AD,FG ∥ BC,

    所以AG⊥FG,且BG⊥FG.

    因为AG∩BG=G,且AG,BG?平面AGB,所以FG⊥平面AGB.

    因为AB?平面AGB,所以FG⊥AB.

    所以DE⊥FG.

    (2)当M在线段BG上,且BM=2MG时,AM ∥ 平面BDF.

    证明如下:

    在线段BF上取点N,使BN=2NF.

    因为FG是梯形ABCD的中位线,BC=2AD=4,

    所以FG ∥ AD,且FG=3.

    因为BM=2ME,BN=2NF,所以MN ∥ FG,且MN=

    2

    3 FG=2.

    所以 MN

    .

    . AD.

    所以四边形MNDA是平行四边形.

    所以AM ∥ DN.

    又因为DN?平面BDF,AM?平面BDF,

    所以AM ∥ 平面BDF.