证明:(1)在图1中,因为∠ABC=∠BAD=90°,所以AD ∥ BC.
因为F,G分别是CD,AB的中点,所以FG ∥ AD ∥ BC.
在图2中,因为FG ∥ AD,FG ∥ BC,所以AD ∥ BC.
因为BC=2AD,E是BC的中点,所以AD=BE.
所以四边形ABED是平行四边形.
所以AB ∥ DE.
因为∠GAD=∠GBC=90°,FG ∥ AD,FG ∥ BC,
所以AG⊥FG,且BG⊥FG.
因为AG∩BG=G,且AG,BG?平面AGB,所以FG⊥平面AGB.
因为AB?平面AGB,所以FG⊥AB.
所以DE⊥FG.
(2)当M在线段BG上,且BM=2MG时,AM ∥ 平面BDF.
证明如下:
在线段BF上取点N,使BN=2NF.
因为FG是梯形ABCD的中位线,BC=2AD=4,
所以FG ∥ AD,且FG=3.
因为BM=2ME,BN=2NF,所以MN ∥ FG,且MN=
2
3 FG=2.
所以 MN
∥
.
. AD.
所以四边形MNDA是平行四边形.
所以AM ∥ DN.
又因为DN?平面BDF,AM?平面BDF,
所以AM ∥ 平面BDF.