解题思路：（1）求导函数，利用导数大于0，可得函数f（x）的单调递增区间；
（2）利用f（x）在[-2，0]上不单调，确定0＜a＜2，x∈[-2，0]时，不等式f（x）＜g（a）恒成立，等价于f（-a）＜g（a），从而可求实数a的取值范围．
（1）当a=1时，f（x）=
1
3x3−
1
2x2−2x−3
∴f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞2
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（2，+∞）；
（2）求导函数，可得f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
∵f（x）在[-2，0]上不单调，
∴-2＜-a＜0
∴0＜a＜2
∵x∈[-2，0]时，不等式f（x）＜g（a）恒成立，
∴f（-a）＜g（a）
∴−
1
3a3+
a−2
2•a2+2a2−3＜
1
6a3+5a-7
∴a2-5a+4＜0
∴1＜a＜4．
∴1＜a＜2．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．