Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC=10m，BC=16m，现点P从B点出发，沿BC向点C运动，运动速度为[1/4]m/s

Answer 1

解题思路：本题需分∠APC=90°∠PAC=90°∠PAB=90°三种情况讨论，再根据BP、CP、AP、AB以及BC边上的高AD之间的关系列出方程，求出解即可．

设P点经过t秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形

此时BP=[1/4]t，PC=16−

1

4t

（1）当∠APC=90°时，AP⊥BC，

∵AB=AC，AP⊥BC，

∴BP=CP=

1

2BC＝8，

∴

1

4t＝8，

∴t=32；

（2）当∠PAC=90°时，过A作AD⊥BC

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=

1

2BC＝8，

∴PD=BD-BP=8-

1

4t，

在Rt△ADC中，AD²=AC²-CD²，

∴AD=6，

在Rt△PAC中，AP²=CP²-AC²，

在Rt△ADP中，AP²=AD²+PD²，

∴CP²-AC²=AD²+PD²，

∴(16−

1

4t)2−100＝(8−

1

4t)2+36，

解得t=14；

（3）当∠PAB=90°时，过A作AE⊥BC

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BE=CE=

1

2BC＝8，

∴PE=BP-BE=

1

4t-8，

在Rt△AEC中，AE²=AC²-CE²，

∴AE=6，

在Rt△PAB中，AP²=BP²-AB²，

在Rt△AEP中，AP²=AE²+PE²，

∴BP²-AB²=AE²+PE²，

∴(

1

4t)2−100＝(

1

4t−8)2+36，

解得t=50．

答：P点经过14秒或32秒或50秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形．

点评：

本题考点： 一元二次方程的应用；勾股定理．

考点点评： 本题解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．