半期数学疑问:21.已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与抛物线y2=2px的一交点(1,√6/2),

1个回答

  • 将(1,√6/2)代入y^2=2px

    ∴2p=6/4=3/2

    抛物线方程为y^2=3/2x

    ∵a/b=√(2p) ,∴a²/b²=3/2

    设椭圆方程为x²/3+y²/2=t

    将(1,√6/2)代入

    t=1/3+3/4=13/12

    ∴椭圆方程为x²/3+y²/2=13/12

    设P(u,v),v²=3/2u (u>0)

    P在椭圆外,u²/3+v²/2>13/12

    ∴u²/3+3/4u>13/12

    3u²+3u-13>0

    u>(-3+2√41)/2

    过P向椭圆引切线,斜率为k

    切线方程为y-v=k(x-u)

    代入椭圆方程

    x²/3+[kx+v-ku]²/2=13/12

    2x²+3[k²x²+2k(v-ku)x+(v-ku)²]=13/2

    (2+3k²)x²+6k(v-ku)x+3(v-ku)²-13/2=0

    Δ=36k²(v-ku)²-4(2+3k²)[3(v-ku)²-13/2]=0

    ∴6(v-ku)²-13-39k²/2=0

    ∴12(v²-2uvk+u²k²)-26-39k²=0

    即 (12u²-39)k²-24uvk+12v²-26=0

    k1k2=(12v²-26)/(12u²-39)

    =(18u-26)/(12u²-39)

    前面的u范围太怪了,我再检查一下