我知道你答案的意思了,它是用了A的特征值是A的任何一个化零多项式的根这样一个结论
由题意:
x^3-1是A的化零多项式,它有唯一根x=1
又因为A的特征值是A的任何一个化零多项式的根这样一个结论,所以A必然至少有一个特征值λ=1
而有(E-A)X=0有非零解可得出
E-A不满秩
但要得出所有特征值都是1好像不行
要证明所有特征值都为1,要用实对称矩阵的性质
因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵P
P'AP=∧ ∧是A的特征值构成的对角阵
A=P∧P'
A^3=P∧^3P'=E
所以∧^3=E
所以λ1^3.λn^3都等于1
所以λ1=λ2=..=λn=1 ∧=E
所以A=P∧P'=PP'=E
还有什么不明白给我发信