Question

已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．

Answer 1

解题思路：（1）设Q（x，y），根据Q是OP中点，可得P（2x，2y），利用点P在抛物线y²=4x上，即可得到点Q的轨迹方程；

（2）设出直线AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0，利用韦达定理，可计算弦长|AB|．

（1）设Q（x，y），∵Q是OP中点，∴P（2x，2y）

又∵点P在抛物线y²=4x上

∴（2y）²=4×2x，即y²=2x为点Q的轨迹方程

（2）∵F（1，0），kAB＝

3，∴直线AB的方程为：y＝

3(x−1)

设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

直线AB的方程代入y²=2x，消去y得：3x²-8x+3=0

∴x1+x2＝

8

3，x1x2＝1

∴|AB|＝

1+k2

(x1+x2)2−4x1x2＝

4

7

3

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评： 本题考查求轨迹方程，考查弦长的计算，解题的关键是掌握代入法求轨迹方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解．