(2011•阜新)如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连接PD,O为AC中点.

1个回答

  • (1)当点P在线段AO上时,

    在△ABP和△ADP中

    AB=AD

    ∠BAP=∠DAP=45°

    AP=AP,

    ∴△ABP≌△ADP,

    ∴BP=DP,

    ∵PB=PE,

    ∴PE=PD,

    过点P做PM⊥CD,于点M,作PN⊥BC,于点N,

    ∵PB=PE,PN⊥BE,

    ∴BN=NE,

    ∵BN=DM,

    ∴DM=NE,

    在Rt△PNE与Rt△PMD中,

    ∵PD=PE,NE=DM,

    ∴Rt△PNE≌Rt△PMD,

    ∴∠DPM=∠EPN,

    ∵∠MPN=90°,

    ∴∠DPE=90°,

    故PE⊥PD,

    PE与PD的数量关系和位置关系分别为:PE=PD,PE⊥PD;

    (2)∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,

    ∴BA=DA,∠BAP=∠DAP=45°,

    ∵PA=PA,

    ∴△BAP≌△DAP(SAS),

    ∴PB=PD,

    又∵PB=PE,

    ∴PE=PD.

    (i)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.

    (ii)当点E在BC的延长线上时,如图.

    ∵△ADP≌△ABP,

    ∴∠ABP=∠ADP,

    ∴∠CDP=∠CBP,

    ∵BP=PE,

    ∴∠CBP=∠PEC,

    ∴∠PEC=∠PDC,

    ∵∠1=∠2,

    ∴∠DPE=∠DCE=90°,

    ∴PE⊥PD.

    综合(i)(ii),PE⊥PD;

    (3)同理即可得出:PE⊥PD,PD=PE.