Question

已知函数f（x）=ex-1（e是自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（1）对函数h（x）=f（x）-x进行求导，通过判断函数h（x）的增减性求出其最小值大于等于0即可．

（2）由（1）可得不等式e^x-1≥x成立，转化可得

lnn

n

2

≤

1

2

(1−

1

n

+

1

n+1

)

，表示出T_n将

lnn

n

2

≤

1

2

(1−

1

n

+

1

n+1

)

代入即可得到答案．

（I）设h（x）=f（x）-x=e^x-1-x

∴h'（x）=e^x-1-1，

当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，

当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，

当x=1时，h（x）取最小值h（1）=0．

∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥x

（II）由（I）可知，对任意的实数x，不等式e^x-1≥x恒成立，

所以en2−1≥n2，lnen2−1≥lnn²，即n²-1≥lnn²，

1−

1

n2≥

lnn2

n2＝

2lnn

n2，

lnn

n2≤

1/2(1−

1

n2)＜

1

2(1−

1

n(n+1))=

1

2(1−

1

n+

1

n+1)

Tn＝

ln1

12+

ln2

22+

ln3

32+…+

lnn

n2]

＜[1/2[(1−1+

1

2)+(1−

1

2+

1

3)+(1−

1

3+

1

4)+…+(1−

1

n+

1

n+1)]

=

1

2[n−1+

1

n+1]=

1

2×

n2

n+1]=

n2

2(n+1)

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；不等关系与不等式．

考点点评： 本题主要考查通过求函数的导数来判断函数的单调性问题．还考查不等式的转化问题．