设关于x的函数f(x)=√(1-x²)及g(x)=x+a,x∈[-1,1]
关于x的不等式√(1-x²)＜x+a在[-1,1]恒成立,则g(x)的图像始终位于f(x)的图像的上方
f'(x)=-x/√(1-x²)
当x∈(-1,0)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增
当x∈(0,1)时,f'(x)＜0,f(x)单调递减
g(x)=x+a的斜率为1
-x/√(1-x²)=1,得x=-√2/2
f(-√2/2)=√2/2
斜率为1的直线与f(x)的切点为(-√2/2,√2/2)
g(-√2/2)=-√2/2+a=√2/2,得a=√2
f(x)与g(x)的图像相切时,a=√2
观察图像易知,a＞√2时,g(x)的图像始终位于f(x)的图像的上方,即√(1-x²)＜x+a
a的取值范围是(√2,+∞)