Question

已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．

Answer 1

（1）解法一：连接OB．

∵PB切⊙O于B，

∴∠OBP=90°，

∴PO ²=PB ²+OB ²，

∵PO=2+m，PB=n，OB=2，

∴（2+m） ²=n ²+2 ²m ²+4m=n ²；

n=4时，

解得： m 1 =-2

5 -2 （舍去）， m 2 =2

5 -2 ．

∴m的值为 2

5 -2 ．

解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线．

又∵PB切⊙O于B，

∴PB ²=PA•PQ，

∵PB=n，PA=m，PO=m+4，

∴n ²=m ²+4m，

当n=4时，解得 m 1 =-2

5 -2 （舍去）， m 2 =2

5 -2 ，

∴m的值为 2

5 -2 ．

（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；

当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，

∴∠BPC=60°，∴△PBC为等边三角形；

连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，

∴m=PA=OP-OA=2．

（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求；

连接OB、OM，

∵OB ∥ DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，

∴四边形OMDB为正方形，

∴BD=DM=OM=2，

∴n=PB=4．

由（1）得n=4时，m= 2

5 -2 ，

∴当m= 2

5 -2 时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形，

此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形．

（这3点分别是M，M ₁，M ₂．其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M ₁是延长BO与⊙O的交点，M ₂是点B关于OP的对称点）