Question

在RT三角形中ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△ABC的面积为?

Answer 1

1证：∵BH⊥PC∴在△PBC中,∠PBH＝∠BCP∠CPB＝∠BHA又AB＝BC∴　△ABH≌△BCP∴　AH＝BP∴　AH＝BQ∴　HDCQ是长方形因此,　DH⊥HQ2证：AC＾2＆＃47；AD＾2＝　cos＾2　∠CAD　＝（1＋cos2∠CAD）＆＃47；2＝　1＆＃47；2　＋cos∠BAC＝1＆＃47；2　＋　AC＆＃47；AB　而　BC＆＃47；2BD＝（1＆＃47；2）·（BD＋CD）＆＃47；BD＝　1＆＃47；2　＋CD＆＃47；BD由三角形角平分线定理,有：AC＆＃47；CD＝AB＆＃47；BD　；则　AC＆＃47；AB　＝　CD＆＃47；BD；则：　1＆＃47；2　＋　AC＆＃47；AB　＝　1＆＃47；2　＋CD＆＃47；BD　；即　AC＾2＆＃47；AD＾2＝BC＆＃47；2BD这里用到的是三角函数的倍角公式；也可以完全用平面几何的方法如下：作DE⊥AD；且DE交AC于E；则　∠BDE　＋∠CDA＝90度；而　∠CAD　＋∠CDA＝90度,则　∠BDE　＝∠CAD　．于是又有∠BDE　＝∠BAD；∠B共用,因此,△BDE∽△ABD；则BD＆＃47；AB＝DE＆＃47；AD；而明显有：Rt△ACD∽Rt△ADE；则　DE＆＃47；AD　＝　CD＆＃47；AC；则BD＆＃47；AB＝CD＆＃47；AC；→AB＆＃47；BD＝AC＆＃47；CD　；→AB＆＃47；BD　＋1　＝AC＆＃47；CD　＋1　；→（AB＋BD）＆＃47；BD　＝（AC＋BD）＆＃47；CD　；过点D做DF垂直AB于F　∠DFA＝∠DFB＝90度　因为AD平分∠CAD　所以∠CAD＝∠FAD　又∠ACB＝∠DFA＝90°　AD＝AD　所以△ACD全等于△AFD　所以AC＝AF　CD＝CF　因为AC＝BC,∠ACB＝90°　所以∠ABC＝45°　因为∠DFB＝90　所以△BFD是等腰直角三角形　所以DF＝BF　所以DF＝BF＝CD　因为AF＋FB＝AB　AF＝AC　CD＝DF＝FB　所以AC＋CD＝AB　则：（AB＋BD）＆＃47；BD　＝AB＆＃47；CD　；（AC＋2BD）＆＃47；BD　＝AB＆＃47；CD　；则AC＆＃47；AE＝BC＆＃47；2BD而且：　AC＆＃47；AD＝AD＆＃47；AE；于是有：AC＾2＆＃47；AD＾2＝（AC＆＃47；AD）＊（AD＆＃47；AE）＝AC＆＃47；AE；3　作DF平行BE且交AC于F；则由此可以得到如下结论：AP＝PD→AE＝EF；而且　　EF：EC＝BD：BC　　；因此,　AE：EC＝BD：BC　　；易证明：　△ABC∽△DBA∽△DAC　；由对应边成比例得：AC：AB＝DC：AD＝AD：BD　；即　DC：AD＝AD：BD＝K；于是可得到　DC：BD＝（DC＆＃47；AD）·（AD＆＃47；BD）＝K·K　＝K＾2；则　　BD：BC＝1＆＃47；（BC：BD）＝1＆＃47；［（BD＋DC）：BD］＝1＆＃47；（1＋DC：BD）＝1＆＃47；（1＋K＾2）；于是：　　AE：EC＝BD：BC＝1：（1＋K＾2）．．．余下全文＞＞