在RT三角形中ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△ABC的面积为?

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  • 1证:∵BH⊥PC∴在△PBC中,∠PBH=∠BCP∠CPB=∠BHA又AB=BC∴ △ABH≌△BCP∴ AH=BP∴ AH=BQ∴ HDCQ是长方形因此, DH⊥HQ2证:AC^2/AD^2= cos^2 ∠CAD =(1+cos2∠CAD)/2= 1/2 +cos∠BAC=1/2 + AC/AB 而 BC/2BD=(1/2)·(BD+CD)/BD= 1/2 +CD/BD由三角形角平分线定理,有:AC/CD=AB/BD ;则 AC/AB = CD/BD;则: 1/2 + AC/AB = 1/2 +CD/BD ;即 AC^2/AD^2=BC/2BD这里用到的是三角函数的倍角公式;也可以完全用平面几何的方法如下:作DE⊥AD;且DE交AC于E;则 ∠BDE +∠CDA=90度;而 ∠CAD +∠CDA=90度,则 ∠BDE =∠CAD .于是又有∠BDE =∠BAD;∠B共用,因此,△BDE∽△ABD;则BD/AB=DE/AD;而明显有:Rt△ACD∽Rt△ADE;则 DE/AD = CD/AC;则BD/AB=CD/AC;→AB/BD=AC/CD ;→AB/BD +1 =AC/CD +1 ;→(AB+BD)/BD =(AC+BD)/CD ;过点D做DF垂直AB于F ∠DFA=∠DFB=90度 因为AD平分∠CAD 所以∠CAD=∠FAD 又∠ACB=∠DFA=90° AD=AD 所以△ACD全等于△AFD 所以AC=AF CD=CF 因为AC=BC,∠ACB=90° 所以∠ABC=45° 因为∠DFB=90 所以△BFD是等腰直角三角形 所以DF=BF 所以DF=BF=CD 因为AF+FB=AB AF=AC CD=DF=FB 所以AC+CD=AB 则:(AB+BD)/BD =AB/CD ;(AC+2BD)/BD =AB/CD ;则AC/AE=BC/2BD而且: AC/AD=AD/AE;于是有:AC^2/AD^2=(AC/AD)*(AD/AE)=AC/AE;3 作DF平行BE且交AC于F;则由此可以得到如下结论:AP=PD→AE=EF;而且  EF:EC=BD:BC  ;因此, AE:EC=BD:BC  ;易证明: △ABC∽△DBA∽△DAC ;由对应边成比例得:AC:AB=DC:AD=AD:BD ;即 DC:AD=AD:BD=K;于是可得到 DC:BD=(DC/AD)·(AD/BD)=K·K =K^2;则  BD:BC=1/(BC:BD)=1/[(BD+DC):BD]=1/(1+DC:BD)=1/(1+K^2);于是:  AE:EC=BD:BC=1:(1+K^2)...余下全文>>