Question

设正整数a,b,c的最大公因数是1,并且ab/（a-b）=c,证明（a-b）是一个完全平方数.

Answer 1

事实上,若(ab)/(a-b)=c

则(a-b)(c-b)=b^2,

于是可以设a-b=m^2*p,c-b=n^2*p（m,n,p均为整数）

其中p不是完全平方数,则b=|mpn|(mpn的绝对值)

可见p是b的约数

又因为a-b=m^2*p,a=b+m^2*p=|mpn|+m^2*p

可见p也是a的约数,又因为a,b,c互质,所以只能是p=1或者-1

所以a-b=m^2或者-m^2

所以能得到a-b的绝对值是平方数