Question

设S为{1,2,...,50}的具有以下性质的子集,S中任意两个不同元素之和不被7整除,则S中的元素至多有多少个

Answer 1

S元素至多有23个

S中被7除余1、2、3、4、5、6、0的元素个数分别有：

8、7、7、7、7、7、7个.

其中,被7除

余1与余6,余2与余5,余3与余4,余0与余0,这些组对的数是互斥的,即

两组内各取一数,总使和被7整除.

因此,S最多含余1、2、3的3组数,及余0的一组中至多1个数,可使S任意两个不同元素之和不被7整除.

易知此时S无论再增加何数,总产生至少一对互斥数.可知这样的取法最大.

S中最多有8+7+7+1 = 23 个数