Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝π2，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且

Answer 1

解题思路：（1）利用直三棱柱ABC-A1B1C1中的性质，及三棱锥A1-B1C1F的体积=VF−A1B1C1=13S△A1B1C1×FC1即可得出．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，可得四边形A1ECF是平行四边形，利用其性质可得A1C∥EC，可得∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．

（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，FC₁⊥平面A₁B₁C₁，故FC₁=2是三棱锥A₁-B₁C₁F的高．

而直角三角形的S△A1B1C1=[1/2A1B1×A1C1=

1

2×2×2=2．

∴三棱锥A₁-B₁C₁F的体积=VF−A1B1C1=

1

3S△A1B1C1×FC1=

1

3×2×2＝

4

3]．

（2）连接EC，∵A₁E∥FC，A₁E=FC=4，

∴四边形A₁ECF是平行四边形，

∴A₁C∥EC，

∴∠BEC是异面直线A₁F与BE所成的角或其补角．

∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2

2．

∴△BCE是等边三角形．

∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A₁F所成的角．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．