Question

若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，

Answer 1

（1）∵ f(x)=

a x +a-3

lna （a＞0，且a≠1），

∴ f ′ (x)=

1

lna •lna •a x =a ^x＞0，

∴f（x）在R上是增函数．

（2）∵f（x）为等射函数，

∴f（x）=

a x +a-3

lna =x有两个不等实根，

即a ^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，

令g（x）=a ^x-xlna+a-3，

∴g′（x）=a ^xlna-lna=lna（a ^x-1），

令g′（x）=0，得x=0．

①当a＞1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，

∴g（x） _min=g（0）=1+a-3＜0，

∴a＜2，

故1＜a＜2；

②当0＜a＜1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，

∴g（x） _min=g（0）=0，

∴0＜a＜1．

综上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．

故答案为：增函数，（0，1）∪（1，2）．