Question

a,b,c为正数,a+b+c=1,求证1/a^2+1/b^2+1/c^2大于等于27

Answer 1

由均值不等式

1/a^2+27a+27a≥3*(27a*27a*1/a^2)^(1/3)

即1/a^2+54a≥27

同理可知

1/b^2+54b≥27

1/c^2+54c≥27

三式相加得

1/a^2+1/b^2+1/c^2+54(a+b+c)≥81

1/a^2+1/b^2+1/c^2+54*1≥81

1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27

取等号时a=b=c=1/3