解题思路：（1）根据条件①②即可求出a，或c的范围，再根据a，c∈N*即可求得a=1，c=2；
（2）求出g（x）=2x+2+m，则g（x）＞0，即m＞-2x-2在[-2，4]上恒成立，从而求得m＞2，而根据函数y=logmg（x）（m＞0且m≠1）在区间[-2，4]上单调递增，从而得到y′=
2
(2x+m+2)lnm
＞0，所以lnm＞0，m＞1，最后即得m的取值范围m＞2；
（3）先使函数h（x）有意义，则得到t＞x2+2x+2=（x+1）2+1，所以t＞1；要判断h（x）的零点，所以令h（x）=0，从而得到t=x2+2x+3=（x+1）2+2，从而根据直线y=t和抛物线y=x2+2x+3的交点情况，即可得到函数h（x）取得零点的情况．
（1）由f（1）=5得，a+2+c=5，∴c=3-a ①；
由6＜f（2）＜11得，6＜4a+4+c＜11 ②；
∴①带入②得−
1
3＜a＜
4
3，∵a∈N*；
∴a=1，c=2；
（2）依题意有g（x）=2x+2+m，则：
y=logm（2x+2+m）在区间[-2，4]上单调递增；
∴y′=
2
(2x+m+2)lnm＞0在[-2，4]上恒成立；
∴
lnm＞0
2x+m+2＞0；
∴m＞1，且m＞-2x-2在[-2，4]上恒成立；
-2x-2在[-2，4]上的最大值为2；
∴m＞2；
∴实数m的取值范围为（2，+∞）；
（3）由函数h（x）知：t＞f（x）=x2+2x+2=（x+1）2+1；
∴t＞1；
令h（x）=0，则：
t-f（x）=1；
即：t=x2+2x+3=（x+1）2+2；
∴当1＜t＜2时，函数y=t与抛物线y=x2+2x+3无交点，即函数h（x）无零点；
当t=2时，函数y=t与抛物线y=x2+2x+3只有一个交点，即函数h（x）有一个零点；
当t＞2时，函数y=t与抛物线y=x2+2x+3有两个交点，即函数h（x）有两个零点．
点评：
本题考点： 二次函数的性质；对数函数的图像与性质．
考点点评： 考查配方法解决二次函数最值问题，以及直线和抛物线交点的情况和对应方程解的情况的关系，以及函数零点的概念．