解题思路：（1）AE与⊙O相切，利用圆的性质和平行线的性质证明∠AMO=90°，即OM⊥AE即可；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=6-r利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识以及利用平行线判定三角形相似和相似三角形的性质即可求出r的值．
（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C．
∵BC=4，cosC=[1/3]，
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]．
在△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB＝
BE
cos∠ABC＝6．
设⊙O的半径为r，则AO=6-r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴[OM/BE＝
AO
AB]．
∴[r/2＝
6−r
6]．
解得：r=[3/2]
∴⊙O的半径为[3/2]．
点评：
本题考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
考点点评： 此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．