Question

如图,△ABC为正三角形,D,E分别为AC,BC上的点（不在顶点）,∠BDE=60°． （1）求证：△DEC∽△BDA；

Answer 1

⑴∵ΔABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∴∠1+∠3=120°,

∵∠BDE=60°,∴∠2+∠3=120°,

∴∠1=∠2,

∴ΔDEC∽ΔBDC.

⑵CD=X,则AD=6-X,

由相似得：CE/CD=AD/AB,

∴CE=X(6-X)/6

∴Y=BE=6-CE=1/6X^2-X+6.

⑶Y=1/6(X^2-6X)+6=1/6(X-3)^2+9/2,

∴当X=3即D为AC中点时,BE最小等于9/2.

这时∠3=90°,∴SΔABD=1/2SΔABC,

SΔCDE=1/4SΔABD(相似比为1/2)

=1/8SΔABC,

∴SΔBDE=3/8SΔABC=3/8*√3/4*6^2=27√3/8.