Question

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积

Answer 1

解题思路：设BM=x，则MC=-4x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．

设BM=x，则MC=4-x，

∵∠AMN=90°，

∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，

∴△ABM∽△MCN，则[AB/MC]=[BM/CN]，即[4/4−x]=[x/CN]，

解得：CN=

x(4−x)

4，

∴S_{四边形ABCN}=[1/2]×4×[4+

x(4−x)

4]=-[1/2]x²+2x+8=-[1/2]（x-2）²+10，

∵0≤x≤4，

∴当x=2时，S_{四边形ABCN}最大．

即当BM的长为2时，四边形ABCN的面积最大．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及二次函数的最值，证明△ABM∽△MCN，得出CN的表达式是解答本题的关键，注意配方法求二次函数最值的应用．