已知函数g(x)=alnx-(1+a)x,h(x)=-[1/2x2,其中a为实数.

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  • 解题思路:(1)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,得到函数f(x)的单调区间;

    (2)令f(x)=g(x)-h(x),通过(1)的结论,从而得到a的范围;

    (3)根据x>1时,

    1/lnx]>[1

    x

    2

    −x

    =

    1

    x(x−1)

    =

    1/x−1]-[1/x],从而得到

    1

    ln(s+1)

    +

    1

    ln(s+2)

    +…+

    1

    ln(s+t)

    t

    s

    2

    +st

    (1)f(x)=alnx−(1+a)x+

    1/2x2,

    f′(x)=

    a

    x−(1+a)+x=

    (x−1)(x−a)

    x(x>0),

    分析可知:

    ①当时,f(x)在(1,+∞)上递增;

    ②当0<a<1时,f(x)在(0,a)及(1,+∞)上递增;

    ③当a=1时,f(x)在(0,+∞)上递增;

    ④当a>1时,f(x)在(0,1)及(a,+∞)递增.

    (2)令f(x)=g(x)-h(x),x∈(0,+∞),由(1)知

    ①当a≤0时,f(x)在(0,1)上递减;f(x)min=f(1)=−

    1

    2−a≥0,

    在a≤0时,f(x)在(1,+∞)上递增,得a≤−

    1

    2];

    ②当0<a<1时,此时有f(1)=−

    1

    2−a<0,不合题意;

    ③当a=1时,同理,有f(1)=−

    1

    2−a<0,不合题意;

    ④当a>1时,同理,有f(1)=−

    1

    2−a<0,不合题意;

    综上,应有a∈(−∞, −

    1

    2].

    (3)由(2)知,当a=-[1/2]时,-[1/2]lnx-[1/2]x+[1/2]x2≥0恒成立,即lnx≤-x+x2

    故x>1时,[1/lnx]>[1

    x2−x=

    1

    x(x−1)=

    1/x−1]-[1/x],

    那么就有,[1

    ln(s+1)+

    1

    ln(s+2)+…+

    1

    ln(s+t)

    >(

    1/s]-[1/s+1])+([1/s+1]-[1/s+2])+…+([1/s+t−1]-[1/s+t])

    =[1/s]-[1/s+t]=[t

    s2+st,

    故总有

    1

    ln(s+1)+

    1

    ln(s+2)+…+

    1

    ln(s+t)>

    t

    s2+st.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题考查了函数的单调性,求参数的范围,不等式的证明,考查了导数的应用,考查分类讨论思想,是一道综合题.

    1年前

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